Volný pád tělesa v odporujícím prostředí

Použité vztahy, doplňující nákresy (kliknutím zobrazit/skrýt)

\mathbf{F}=\mathbf{F_G} %2B \mathbf{F_O} %2B \mathbf{F_{VZ}}
\mathbf{F_G}=m\mathbf{g}
\mathbf{F_O}=\frac{1}{2}CS\rho v^2 \mathbf{v^0}
\mathbf{F_{VZ}}=V\rho\mathbf{g}

Kde m je hmotnost tělesa, g gravitační zrychlení, C je součinitel odporu, S plocha kolmá na směr pohybu, ρ je hustota prostředí, v rychlost pohybu tělesa, V objem tělesa.

Vzhledem k tomu, že nás již nyní bude zajímat pouze pohyb v ose y, upustíme od vektorového zápisu veličin. A protože tíhová síla FG působí v opačném směru než roste osa y, budeme její velikost od celkové síly F odečítat. Naopak síly FO a FVZ budeme přičítat.

F=-F_G %2B F_O %2B F_{VZ}
F=-mg %2B \frac{1}{2}C_y S_y\rho v_y^2 %2B V\rho g

Následně určíme hodnotu zrychlení ay podělením poseldního vztahu hmotností m. Dále tedy získáváme vztahy pro výpočet zrychlení ay, rychlosti vy a polohy y.

a_y (t)=-g %2B \frac{1}{2m}C_y S_y \rho v_y^2 %2B \frac{1}{m}V\rho g
v_y(t %2B dt) = v_y(t) %2B a_y(t)dt
y(t %2B dt) = y(t) %2B v_y(t)dt
volny_pad.png

Obr. 1 Zakreslení situace.

Práce s výstupem z počítačového modelu během žákovského experimentu (kliknutím zobrazit/skrýt)

  • Cíl modelu: Doplnění experimentu demonstrující volný pád v odporujícím prostředí o grafické znázornění závislosti výšky kuličky nad povrchem na čase a srovnání s volným pádem ve vakuu.
  • Doporučeno pro: 1. ročník vyššího gymnázia
  • Doporučená délka práce s modelem: 5–10 minut

Postup měření experimentu (kliknutím zobrazit/skrýt)

Pokud máme k dispozici kulové těleso s průměrem d = 0,4 m, můžeme jej pouštět například z balkónu ve 4. poschodí.

  • Změříme průměr tělesa nebo obvod (poloměr se dopočítá).
  • Změříme hmotnost tělesa.
  • Změříme výšku od země, například spuštěním olovnice nebo matky na niti.
  • Pomocí stopek budeme měřit dobu pádu tělesa.

Pokud máme k dispozici kulové těleso s průměrem d = 0,05 m, můžeme jej pouštět v laboratoři, ale budeme potřebat například soupravu ISES (použijeme například mikrofon, siloměr nebo dvě optické závory).

  • Změříme průměr tělesa nebo obvod (poloměr se dopočítá).
  • Změříme hmotnost tělesa.
  • Změříme výšku od závěsu tělesa k místu dopadu.
  • Okamžik uvotnění tělesa je snímán siloměrem, dopad zaznamenán mikrofonem.
    • Těleso zavěsíme na nit na siloměr.
    • Místo dopadu bude snímat mikrofon.
    • Počátek pádu tělesa odečteme z odlehčení siloměru.
    • Dopad určíme ze sejmutého signálu mikrofonem.
  • Okamžik uvotnění tělesa je snímán optickými závorami.
    • Těleso zavěsíme na nit nad obě optické závory.
    • První optická závora je co nejblíže tělesu, ta bude snímat počátek volného pádu.
    • Druhá optická závora je co nejblíže místu dopadu, bude snímat konec volného pádu.



Pozn.:

  • Jako další možnost měření doby volného pádu tělesa, lze použít videoanalýzu pohybu.
  • Další variantou měření je použití prostředí s vyšší vyskozitou, než má vzduch, například voda, glycerol a další.

Fragment zdrojového kódu modelu (kliknutím zobrazit/skrýt)

function ay ($g, $Cy, $r, $ro, $m, $vy, $eta) {
	$S = pi() * $r * $r;
	$V = 4/3 * pi() * $r * $r * $r;

	$aFoNewton = ($Cy * $S * $ro * $vy * $vy) / (2 * $m);
	$aFvz = ($V * $ro * $g) / $m;

	$ay = 0 - $g + $aFoNewton + $aFvz;
	return $vy;
};
function vy ($v, $ay, $dt) {
	$vy = $v + $ay * $dt;
	return $vy;
};
function yy ($y, $vy, $dt) {
	$yy = $y + $vy * $dt;
	return $yy;
};

$t = 0;
$dt = 0.0001;
$vy = 0;
$yy = $y;
$Sy = pi() * $r * $r;

do{
	$ay = ay($g, $Cy, $r, $ro, $m, $vy, $eta);
	$vy = vy($vy, $ay, $dt);
	$yy = yy($yy, $vy, $dt);
	ImageSetPixel($obrazek, $t, $yy, $barva);
	$t = $t + $dt;
} while($yy >= 0);

Vstupní hodnoty modelu (kliknutím zobrazit/skrýt)

Poloměr tělesa - r = m
Hmotnost tělesa - m = kg
Součinitel odporu - Cy =
Počáteční výška - y = m
Hustota prostředí - ρ = kg·m-3
Tíhové zrychlení - g = m·s-2
© 2009 - 2019 | Jan Válek, Petr Sládek
Dynamické modelování v PHP | Modelování fyzikálních jevů nejen ve sportu | Volný pád tělesa v odporujícím prostředí
Design by Free CSS Templates